\chapter{拉普拉斯原始引力势方程推导 (1782)}
	
	\begin{abstract}
		本文严格遵循拉普拉斯1782年《关于球体引力及行星形状的理论》中的原始方法，通过直接分析引力势的无穷小增量，推导出著名的拉普拉斯方程。区别于现代教材常用的高斯散度定理，原始推导展现了18世纪分析数学的独特思维方式。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	拉普拉斯在其1782年提交给巴黎科学院的论文中，首次从连续介质的角度重构了牛顿引力理论。其核心创新在于将离散质点引力推广为连续分布引力势的微分关系，本文重现这一历史性推导的关键步骤。
	
	\section{基本定义}
	\begin{proposition}[引力势定义]
		对于质量密度$\rho(x,y,z)$，空间点$P=(x,y,z)$处的引力势定义为：
		\begin{equation}
			V(P) = \iiint \frac{G\rho(Q)}{r(P,Q)} d\tau_Q
		\end{equation}
		其中$r(P,Q)$为$P$与源点$Q$的距离，$d\tau_Q$为体积元。
	\end{proposition}
	
	\section{拉普拉斯原始推导}
	\subsection{势函数的微分性质}
	考虑势函数$V$在点$P$邻域的性质。设$P$点坐标为$(x,y,z)$，取无穷小位移$dx,dy,dz$，则势的一阶微分为：
	\begin{equation}
		dV = \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy + \frac{\partial V}{\partial z}dz
	\end{equation}
	
	\subsection{二阶微分分析}
	拉普拉斯的关键创新在于考察势函数的二阶微分。对于自由空间中的点$P$（即$P$点不含质量），他通过以下几何论证：
	
	\begin{lemma}[球面平均性质]
		在无质量区域内，势函数$V$在任意无穷小球面上的平均值等于球心处的值：
		\begin{equation}
			\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{S} V dS = V(P) + \frac{a^2}{6}\left(\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}\right) + O(a^4)
		\end{equation}
		其中$a$为球面半径。
	\end{lemma}
	
	\begin{proof}
		将$V$在$P$点泰勒展开至二阶项：
		\begin{align*}
			V(Q) &= V(P) + \sum_i \frac{\partial V}{\partial x_i}\Delta x_i \\
			&\quad + \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{\partial^2 V}{\partial x_i \partial x_j}\Delta x_i \Delta x_j + \cdots
		\end{align*}
		在半径为$a$的球面上积分时，一阶项因对称性消去，二阶项利用$\iint x_i^2 dS = \frac{4\pi a^4}{3}$和$\iint x_i x_j dS = 0$（$i\neq j$）即得证。
	\end{proof}
	
	\subsection{微分方程的建立}
	根据牛顿引力理论，在无质量区域应当有：
	\begin{equation}
		\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{S} V dS = V(P)
	\end{equation}
	与引理比较可得必要条件：
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0
	\end{equation}
	此即著名的拉普拉斯方程。
	
	\section{原始方法的特征分析}
	拉普拉斯的推导具有鲜明的时代特征：
	\begin{itemize}
		\item 完全基于牛顿力学框架，避免使用场论概念
		\item 依赖泰勒展开和对称性论证
		\item 通过几何直观而非严格的微分算子理论
		\item 隐含了调和函数的核心性质（均值性质）
	\end{itemize}
	
	\section{历史注释}
	值得注意的是，拉普拉斯在1782年论文中尚未使用$\nabla^2$符号（该符号由Murphy在1833年引入），而是直接写出各二阶偏导之和。其推导过程也反映了18世纪数学家对"无穷小"概念的操作风格。
	
	\bibliographystyle{plain}
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{laplace1782} 
		Laplace P S. (1782). "Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes". \emph{Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris}.
		
		\bibitem{grattan2012} 
		Grattan-Guinness I. (2012). \emph{The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann}. MIT Press.
		
		\bibitem{calinger1999}
		Calinger R S. (1999). \emph{A Contextual History of Mathematics}. Prentice Hall.
	\end{thebibliography}
	
\chapter{拉普拉斯引力势方程的数学推导 (后世改写)}
	
	\begin{abstract}
		本文重现了皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)于1782年提出的引力势理论的数学推导过程。通过分析牛顿万有引力定律在连续介质中的表现形式，拉普拉斯首次得出了描述引力势空间分布的偏微分方程——拉普拉斯方程$\nabla^2 V = 0$。这一工作为势场理论奠定了数学基础，对后续物理学发展产生了深远影响。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在18世纪后期，随着牛顿力学体系的成熟，数学家开始系统研究引力作用的数学表达。拉普拉斯在1782年的工作中，将点质量引力推广到连续分布质量情形，引入了"势函数"的概念，并导出了其在自由空间中的基本方程。
	
	\section{牛顿引力定律的数学表述}
	\begin{definition}[点质量引力势]
		根据牛顿万有引力定律，质量为$m$的质点产生的引力势$V$在距离$r$处表示为：
		\begin{equation}
			V(r) = -G\frac{m}{r}
		\end{equation}
		其中$G$为万有引力常数。
	\end{definition}
	
	对于空间中的质量分布$\rho(\mathbf{r})$，总势能可通过叠加原理得到：
	\begin{equation}
		V(\mathbf{r}) = -G\int_{\Omega}\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d^3\mathbf{r}'
	\end{equation}
	
	\section{拉普拉斯方程的推导}
	\begin{derivation}
		考虑自由空间中的引力势$V$（即不含质量点的区域），拉普拉斯通过以下步骤导出其控制方程：
		
		\subsection{步骤1：引力场与势的关系}
		引力场强度$\mathbf{g}$与势$V$的关系为：
		\begin{equation}
			\mathbf{g} = -\nabla V
		\end{equation}
		
		\subsection{步骤2：高斯引力定律}
		由高斯定理，引力场通量正比于包含质量：
		\begin{equation}
			\oint_{\partial \Omega} \mathbf{g} \cdot d\mathbf{S} = -4\pi G M_{\text{enc}}
		\end{equation}
		其中$M_{\text{enc}} = \int_{\Omega} \rho dV$为包含质量。
		
		\subsection{步骤3：微分形式}
		应用散度定理得到：
		\begin{equation}
			\nabla \cdot \mathbf{g} = -4\pi G \rho
		\end{equation}
		
		\subsection{步骤4：势的泊松方程}
		结合(3)和(5)式：
		\begin{equation}
			\nabla^2 V = 4\pi G \rho
		\end{equation}
		在无质量区域($\rho=0$)简化为拉普拉斯方程：
		\begin{equation}
			\nabla^2 V = 0
		\end{equation}
		其中$\nabla^2$为拉普拉斯算子，在笛卡尔坐标系中表示为：
		\begin{equation}
			\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}
		\end{equation}
	\end{derivation}
	
	\section{数学意义}
	拉普拉斯方程(7)是数学物理中最著名的椭圆型偏微分方程之一，其特征包括：
	\begin{itemize}
		\item 解的唯一性：在给定边界条件下解唯一
		\item 极值原理：解在区域内部不能达到极值
		\item 球对称解：$V(r) \sim 1/r$
	\end{itemize}
	
	\section{历史影响}
	拉普拉斯的工作具有深远影响：
	\begin{itemize}
		\item 为泊松(1813)、格林(1828)等后续研究奠定基础
		\item 推广到电磁学中的电势理论
		\item 成为调和函数理论的起点
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	拉普拉斯1782年的推导首次建立了引力势的微分方程描述，将牛顿的离散质点引力理论发展为连续的场论框架。这一数学创新不仅解决了当时天体力学中的具体问题，更为19世纪数学物理的发展提供了关键工具。
	
	\bibliographystyle{plain}
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{laplace1782} 
		Laplace P S. (1782). "Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes". Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris.
		
		\bibitem{whittaker1951} 
		Whittaker E T. (1951). \emph{A History of the Theories of Aether and Electricity}. Dover.
		
		\bibitem{griffiths1999}
		Griffiths D J. (1999). \emph{Introduction to Electrodynamics}. Prentice Hall.
	\end{thebibliography}
	